| Dersin Amacı: |
Galois cisimleri, yönetilebilir ve etkin veri işleme, kriptografi, kodlama teorisi, cebirsel geometri, diferansiyel denklemler gibi alanlarda birçok uygulamaya sahiptir. Galois teorisindeki temel amaç, tek değişkenli polinomların köklerini incelemektir. Ders, Galois teorisi ve sonlu cisimlerin temellerini tanıtmaktadır. |
| Dersin İçeriği: |
Grup, halka, cisim, vektör uzayları, polinomlar, Cebirin Temel Teoremi, polinomların çarpanlara ayrılması, cisim genişlemeleri, splitting cisimler, cisim otomorfizmleri, Galois teorisinde denklik, bir polinomun Galois grubu, cisim genişlemesinin vektör uzayı olması durumu, sonlu cisimler, alt cisimler, birimin kökleri, devirli genişlemeler, binom teorisi, Möbius inversiyon, cebirsel kapalı cisimler, transandant sayılar. |
| Hafta |
Konu |
Ön Hazırlık |
| 1) |
Kümeler, tam sayılar, tam sayıların çarpanlara ayrılışı, gruplar, devirli gruplar, cisimler, halkalar, vektor uzayları. |
|
| 2) |
Polinomlar, polinom halkaları, bölme algoritması, Öklid algoritması, en büyük ortak bölen hesabı, tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgeler. |
|
| 3) |
Cebirin temel teoremi, bir polinomun tek türlü çarpanlara ayrılışı, indirgenemezlik, Gauss önermesi, Eisenstein kriteri, modulo p ye göre kalan, polinomları sıfırları. |
|
| 4) |
Kalan sınıfı halkaları ve cisimler. |
|
| 5) |
Sonlu cisimleri yapısı, bir cismin karakteristiği, varlık ve tekliği, alt cisimler, genişlemeler. |
|
| 6) |
Cisim otomorfizmleri, minimal polinomlar, primitif (ilkel) polinomlar, iz ve norm, ikinci dereceden denklemler. |
|
| 7) |
Sonlu cisimler üzerinde tanımlı polinomların çarpanlara ayrılışı, x^n-1 in çarpanlara ayrılışı, siklotomik polinomlar, bir polinomun periyodu. |
Ders Kitabı |
| 8) |
Ara sınav |
|
| 9) |
Pusula ve cetvel kullanarak inşa etme, çözülebilir sayılar. |
|
| 10) |
Ayrılabilirlik, türetme |
|
| 11) |
Karakterlerin lineer bağımsızlığı, gömmeler. |
|
| 12) |
Galois genişlemeleri, bir polinomun Galois grubu, Galois denkliği. |
|
| 13) |
Pirimitif (ilkel) eleman teoremi, çözülebilir cisimler, köklü ifadelerin çözümü. |
|
| 14) |
Temel simetrik polinomlar, genel polinom, discriminant. Derecesi en fazla 4 olan denklemlerin çözümü, Galois grubun hesaplanması, uygulamalar. |
|
| |
Dersin Program Kazanımlarına Etkisi |
Katkı Payı |
| 1) |
Bilgisayar Bilimi ve Mühendisliği alanında bilimsel araştırma yaparak geniş ve derin bilgilere ulaşma, değerlendirme, yorumlama ve uygulama becerisi. |
|
| 2) |
Sınırlı ya da eksik bilgiyi kapatmak ve uygulamak için bilimsel yöntemleri kullanma ve farklı disiplinlerin bilgilerini bütünleştirme kabiliyeti. |
|
| 3) |
Bilgisayar Bilimi ve Mühendisliği problemlerini kurgulayabilme, problemleri çözmek için yöntemler geliştirebilme ve çözümde yenilikçi yöntemler kullanabilme. |
|
| 4) |
Yeni ve/veya orijinal fikirler ve algoritmalar geliştirme becerisi; sistem, bileşen veya süreç tasarımında yenilikçi çözümler geliştirmek. |
|
| 5) |
Bilgisayar Mühendisliğinde uygulanan güncel teknikler ve yöntemler ve bunların kısıtları hakkında geniş bilgi sahibi olma kabiliyeti. |
|
| 6) |
Analitik modelleme ve deneysel araştırma tasarlama ve uygulama, süreçte karşılaşılan karmaşık durumları çözme ve yorumlama becerisi. |
|
| 7) |
Bir yabancı dili (İngilizce) en az Avrupa Dil Portföyü seviyesinde sözlü ve yazılı iletişimde kullanabilme kabiliyeti. |
|
| 8) |
Çok disiplinli ekiplerde liderlik etme, karmaşık durumlara çözüm geliştirme ve sorumluluk alma kabiliyeti. |
|
| 9) |
Toplumsal, yasal, etik ve ahlaki değerlerin bilincinde olmak ve bu değerler çerçevesinde araştırma ve uygulama çalışmaları yapabilmek. |
|
| 10) |
Bilgisayar Bilimi ve Mühendisliği alanında yeni ve gelişmekte olan uygulamalar hakkında farkındalık ve bunları inceleme ve gerekirse öğrenme kabiliyeti. |
|
BİLGİ PAKETİ / DERS KATALOĞU
